\chapter{Serie numeriche}
Definizione. Carattere di una serie. Esempi: serie geometrica, serie telescopiche. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie somma e serie prodotto di una costante per una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non negativi: criteri di confronto, criterio del confronto asintotico. Criterio degli infinitesimi (nodim).
Criterio del rapporto e criterio della radice. Successioni di Cauchy in $\R^n$. Gli spazi $\R$, $\C$, $\R^n$ come spazi metrici completi. Convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz (nodim).

\section{Definizione serie numerica}
\index{Serie numerica}\label{def:serie_numerica}
Sia $\{a_n\}_{n\in\N}\subset\C$ una \textsc{successione numerica} nel campo $\C$. 
Sia $s_n=\sum_{k=0}^n{a_k}$ la somma parziale al termine $n$ della successione. 
Sia $\{s_n\}$ la \textsc{successione delle somme parziali}.
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{serie numerica} la \[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\] la coppia della successione numerica $\{a_n\}_{n\in\N}$, e la successione delle somme parziali $\{s_n\}_{n\in\N}$ dove $\forall n\in\N\;s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k$.
\end{definizione}
\section{Carattere di una serie.}
\begin{definizione}
La serie $\sum_{k=0}^{n}a_n=w\in\C$ \textsc{converge} per definizione in $\C$ a $w$ se converge la successione delle somme parziali associata $\{s_n\}$ e $\lim_n s_n=w$ ovvero se $\forall\varepsilon>0\,\exists\nu\in\N\tc\forall n>\nu\colon\;\abs{a_n-w}<\varepsilon$. Si chiama allora somma della serie $\sum_{k=0}^{n}a_n=w$.
\end{definizione}
\section{Esempi: serie geometrica, serie telescopiche.} 
\section{Serie armonica e serie armonica generalizzata.} 
\section{Serie somma e serie prodotto di una costante per una serie.}
\section{Condizione necessaria per la convergenza.}
\section{Serie a termini non negativi: criteri di confronto, criterio del confronto asintotico.}\index{Criterio!di confronto tra serie}\index{Criterio!di confronto asintotico tra serie}
\section{Criterio degli infinitesimi (nodim).}\index{Criterio!degli infinitesimi}
\section{Criterio del rapporto e criterio della radice.}\index{Criterio!del rapporto}\index{Criterio!della radice}
\section{Successioni di Cauchy in $\R^n$.}\index{Successione!di Cauchy}
\section{Gli spazi $\R$, $\C$, $\R^n$ come spazi metrici completi.}
\section{Convergenza assoluta.}
\section{Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz (nodim).}

